Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu đã tạo ra nhiều giá trị dư thừa bổ sung chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với các miền hữu hạn được phát hiện trong nghiên cứu gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy trở lại từ những năm 1980. Hiện nay, miền nhị phân đã được áp dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Galois thông điệp mã hóa ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính bảo mật. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính bảo mật và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép tính Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính bảo mật cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để thể hiện toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể xem siêu khối như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh oracle tương tác đa thức theo lý thuyết thông tin ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP ): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua tương tác với người xác minh, khiến cho người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một số ít kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi giao thức xử lý các biểu thức đa thức theo cách khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có đúng hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và ứng dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với các miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Khi thiết kế Halo2, chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được khả năng đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được lựa chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, liệu có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu suất và độ an toàn cao. Đầu tiên, việc xây dựng số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) đã tạo ra nền tảng cho tính toán của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh kiểm chứng Oracle tương tác (PIOP) của mình, áp dụng kiểm tra sản phẩm và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo sự kiểm tra nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác thực các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: số học dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và số học hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học có hiệu suất cao, khiến nó trở thành sự lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình số học giản lược, tức là các phép toán được thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc tính này, cùng với khả năng tận dụng tối đa các đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải chuỗi 32 bit nào cũng có thể tương ứng một cách duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm bậc phổ biến bao gồm giảm bậc Barrett, giảm bậc Montgomery, cũng như các phương pháp giảm bậc đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm bậc thường được sử dụng bao gồm giảm bậc đặc biệt ( như trong AES sử dụng ), giảm bậc Montgomery ( như trong POLYVAL sử dụng ) và giảm bậc đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Thực Thi Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào bậc khi thực hiện các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một yếu tố duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai yếu tố miền tháp 64 bit, bốn yếu tố miền tháp 32 bit, 16 yếu tố miền tháp 8 bit, hoặc 128 yếu tố miền F2. Tính linh hoạt của biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một loại chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các yếu tố miền nhỏ có thể được đóng gói thành các yếu tố miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Ngoài ra, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền dưới dạng tháp nhị phân n bit ( phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên HyperPlonk Product và PermutationCheck------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác thực chứng chỉ bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem việc đánh giá đa thức có lý trên khối siêu Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có bằng không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố của các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu suất của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 tại mọi điểm trên siêu lập phương, và tích số phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách chuyên biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho 0: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho 0, dẫn đến không thể xác định được vấn đề không bằng 0 của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra PermutationCross: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra Permutation giữa nhiều cột, điều này giúp Binius có thể xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ quan trọng, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:
Packing: Phương pháp này thông qua việc
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
13 thích
Phần thưởng
13
7
Chia sẻ
Bình luận
0/400
LiquidatedAgain
· 07-12 21:48
Một đợt nghiên cứu mã hóa khác, không bằng học cách ngăn chặn Bị thanh lý.
Xem bản gốcTrả lời0
zkProofInThePudding
· 07-11 22:01
Miền này giảm quá chậm rồi, tiếp tục ép đi!
Xem bản gốcTrả lời0
TopEscapeArtist
· 07-10 04:10
Có vẻ như kiến trúc nền tảng của zkp cũng có hình thái k-line giết thị trường Bear rồi... từ 252 giảm xuống 32bit, mức giảm này còn thảm hơn cả một số alts.
Xem bản gốcTrả lời0
CommunityWorker
· 07-10 04:10
Miền này thật ảm đạm.
Xem bản gốcTrả lời0
FastLeaver
· 07-10 04:09
Lại có người nói STARKs bị kẹt, cười chết mất.
Xem bản gốcTrả lời0
Ser_APY_2000
· 07-10 04:03
Bản chất của tối ưu hóa nằm ở 0 và 1
Xem bản gốcTrả lời0
UnluckyMiner
· 07-10 03:43
Lại đang tối ưu băng thông à, làm rắc rối như vậy để làm gì.
Khám phá Binius STARKs: Tối ưu hóa miền nhị phân và đổi mới đa thức đa tuyến tính
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu đã tạo ra nhiều giá trị dư thừa bổ sung chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với các miền hữu hạn được phát hiện trong nghiên cứu gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy trở lại từ những năm 1980. Hiện nay, miền nhị phân đã được áp dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Galois thông điệp mã hóa ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính bảo mật. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính bảo mật và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép tính Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính bảo mật cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để thể hiện toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể xem siêu khối như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh oracle tương tác đa thức theo lý thuyết thông tin ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP ): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua tương tác với người xác minh, khiến cho người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một số ít kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi giao thức xử lý các biểu thức đa thức theo cách khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có đúng hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và ứng dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với các miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Khi thiết kế Halo2, chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được khả năng đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được lựa chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, liệu có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu suất và độ an toàn cao. Đầu tiên, việc xây dựng số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) đã tạo ra nền tảng cho tính toán của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh kiểm chứng Oracle tương tác (PIOP) của mình, áp dụng kiểm tra sản phẩm và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo sự kiểm tra nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác thực các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: số học dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và số học hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học có hiệu suất cao, khiến nó trở thành sự lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình số học giản lược, tức là các phép toán được thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc tính này, cùng với khả năng tận dụng tối đa các đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải chuỗi 32 bit nào cũng có thể tương ứng một cách duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm bậc phổ biến bao gồm giảm bậc Barrett, giảm bậc Montgomery, cũng như các phương pháp giảm bậc đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm bậc thường được sử dụng bao gồm giảm bậc đặc biệt ( như trong AES sử dụng ), giảm bậc Montgomery ( như trong POLYVAL sử dụng ) và giảm bậc đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Thực Thi Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào bậc khi thực hiện các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một yếu tố duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai yếu tố miền tháp 64 bit, bốn yếu tố miền tháp 32 bit, 16 yếu tố miền tháp 8 bit, hoặc 128 yếu tố miền F2. Tính linh hoạt của biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một loại chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các yếu tố miền nhỏ có thể được đóng gói thành các yếu tố miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Ngoài ra, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền dưới dạng tháp nhị phân n bit ( phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên HyperPlonk Product và PermutationCheck------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác thực chứng chỉ bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem việc đánh giá đa thức có lý trên khối siêu Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có bằng không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố của các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu suất của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 tại mọi điểm trên siêu lập phương, và tích số phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách chuyên biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho 0: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho 0, dẫn đến không thể xác định được vấn đề không bằng 0 của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra PermutationCross: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra Permutation giữa nhiều cột, điều này giúp Binius có thể xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ quan trọng, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính: